Über den Autor 11

Einführung 23

Über dieses Buch 23

Konventionen in diesem Buch 24

Wie Sie dieses Buch einsetzen 24

Törichte Annahmen über den Leser 25

Wie dieses Buch aufgebaut ist 25

Teil I: Analysis ein Überblick 25

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 25

Teil III: Grenzwerte 26

Teil IV: Differenziation 26

Teil V: Integration und unendliche Reihen 26

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 27

Wie es weitergeht 27

Teil I: Analysis ein Überblick 29

Kapitel 1 Was ist Analysis? 31

Was Analysis nicht ist 31

Was also ist Analysis? 32

Beispiele für die Analysis aus der Praxis 34

Kapitel 2 Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration37

Differenziation Definition 37

Die Ableitung ist eine Steigung 37

Die Ableitung ist eine Änderungsrate 39

Und jetzt zur Integration 40

Unendliche Reihen 41

Divergierende Reihen 42

Konvergierende Reihen 42

Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert45

Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 45

Was passiert beim Vergrößern? 46

Zwei Warnungen nur zur Vorsicht 49

Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 49

Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 49

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 51

Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra53

Was Sie über Brüche wissen sollten 53

Ein paar schnelle Regeln 54

Brüche multiplizieren 54

Brüche dividieren 54

Brüche addieren 55

Brüche subtrahieren 58

Brüche kürzen 58

Betrag (Absolutwert) absolut einfach 60

Potenzen machen stark 61

Zu den Wurzeln der Wurzeln 62

Wurzeln, überall Wurzeln! 62

Wurzeln vereinfachen 63

Logarithmen wirklich keine Hexerei 64

Faktorisieren wer braucht denn so was? 65

Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 65

Die Mustersuche 66

Faktorisierung quadratischer Polynome 67

Quadratische Gleichungen lösen 67

Methode 1: Faktorisieren 67

Methode 2: Dieabc-Formel oder Mitternachtsformel 69

Methode 3: Quadratische Ergänzung 70

Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen73

Was ist eine Funktion? 73

Die definierende Eigenschaft einer Funktion 74

Unabhängige und abhängige Variablen 76

Funktionsnotation 77

Verkettete Funktionen 77

Wie sieht eine Funktion aus? 79

Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 80

Geradeheraus Geraden in der Ebene 80

Parabel- und Betragsfunktionen gerade heraus 84

Einige ungerade Funktionen 85

Exponentialfunktionen 85

Logarithmusfunktionen 86

Inverse Funktionen 87

Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 88

Horizontale Transformationen 89

Vertikale Transformationen 90

Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf!93

Trigonometrie im Crashkurs 93

Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 95

Das 45-45-90-Dreieck 95

Das 30-60-90-Dreieck 96

Im Einheitskreis gefangen! 97

Winkel im Einheitskreis 98

Winkel im Bogenmaß messen 98

Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 99

Und jetzt das Ganze zusammen 100

Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 102

Inverse trigonometrische Funktionen 104

Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 107

Teil III: Grenzwerte 109

Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit111

Bis an die Grenzen NEIN 111

Drei Funktionen erklären den Grenzwert 112

Einseitige Betrachtungen 115

Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 116

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 117

Grenzwerte im Unendlichen haben Sie gute Schuhe an? 119

Die Momentangeschwindigkeit berechnen mithilfe von Grenzwerten 119

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 122

Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 123

Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 124

Drei Bedingungen für die Stetigkeit 126

Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 126

Kapitel 8 Grenzwerte auswerten129

Einfache Grenzwerte 129

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 129

Grenzwerte geometrisch bestimmen 130

Einsetzen und Einkochen 131

Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 132

Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 132

Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 134

Guten Appetit mit einem Grenzwertsandwich 137

Grenzwerte bei unendlich auswerten 141

Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 143

Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 144

Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 145

Teil IV: Differenziation 147

Kapitel 9 Differenziation Orientierung149

Differenziation: Such die Steigung! 150

Die Steigung einer Geraden 153

Die Ableitung einer Geraden 155

Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 155

Analysis auf dem Spielplatz 155

Geschwindigkeit die uns vertrauteste Änderungsrate 157

Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 158

Die Ableitung einer Kurve 158

Der Differenzenquotient 160

Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 167

Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 168

Kapitel 10 Regeln für die Differenziation was sein muss, muss sein!171

Grundlegende Regeln der Differenziation 172

Die Konstantenregel 172

Die Potenzregel 172

Die Faktorregel 174

Die Summenregel die kennen Sie schon 175

Die Differenzregel macht kaum einen Unterschied 175

Trigonometrische Funktionen differenzieren 176

Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 176

Differenziationsregeln für Profis Wir sind die Champions! 178

Die Produktregel 178

Die Quotientenregel 179

Die Kettenregel 181

Implizite Differenziation 186

Logarithmische Differenziation der Rhythmus machts 188

Inverse Funktionen differenzieren 189

Ableitungen höherer Ordnung die Leiter hinabsteigen 191

Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven193

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 193

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 194

Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 195

Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 196

Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 196

Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 196

Von nun an gehts bergab! 196

Ihr Reisetagebuch 197

Extremwerte finden 198

Die kritischen Stellen herausleiern 198

Der Test der ersten Ableitung 200

Der Test der zweiten Ableitung Tests, Tests, Tests! 202

Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 205

Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 208

Krümmung und Wendepunkte bestimmen 210

Die Graphen von Ableitungen bis zum Abwinken 212

Der Mittelwertsatz es bleibt einem nichts erspart! 215

Die Regel von LHôpital: Analysis für den Notfall 218

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 219

Drei weitere nicht akzeptable Formen 220

Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 223

Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 223

Das maximale Volumen einer Schachtel 224

Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen Cowboys unter sich! 226

Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 229

Geschwindigkeit und Tempo 231

Maximale und minimale Höhe 232

Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 233

Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 235

Und jetzt alles zusammen 236

Voneinander abhängige Änderungsraten 237

Einen Ballon aufblasen 237

Einen Trog auffüllen 240

Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 242

Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 245

Die Aufgabenstellung mit der Tangente 245

Und jetzt zur Normale 247

Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 250

Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 253

Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 253

Teil V: Integration und unendliche Reihen 261

Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung ein Einstieg 263

Integration: Einfach eine seltsame Addition 263

Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 266

Der Umgang mit negativen Flächen 269

Flächen annähern 270

Flächen mithilfe linker Summen annähern 270

Flächen mithilfe rechter Summen annähern 273

Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 275

Die Summennotation 277

Die Grundlagen summieren 278

Riemann-Summen in Sigma-Notation 278

Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 282

Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 286

Die Trapezregel 287

Die Simpson-Regel Thomas (17101761), nicht Homer (1987) 289

Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation291

Stammfunktionen suchen die umgekehrte Differenziation 291

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 293

Die müßige Flächenfunktion 294

Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 297

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil 2 301

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 1 304

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 2 306

Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 307

Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 309

Umkehrregeln für Stammfunktionen 309

Raten und Prüfen 312

Die Substitutionsmethode 313

Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 318

Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis321

Teilweise (partielle) Integration: Teile und Herrsche! 321

Das u auswählen 325

Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 327

Alles im Kreis! 328

Tricks mit Trig-Integralen 330

Integrale mit Sinus und Kosinus 331

Integrale mit Sekans und Tangens 334

Integrale mit Kosekans und Kotangens 337

Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 337

1. Fall: Tangens 338

2. Fall: Sinus 341

3. Fall: Sekans 342

A,BundCin Teilbrüchen (Partialbrüchen) 343

1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 344

2. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 345

3. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 347

Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 347

Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen349

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 350

Die Fläche zwischen zwei Kurven der doppelte Spaß 353

Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 357

Die Wurstscheibenmethode 357

Die Pfannkuchenstapelmethode 359

Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 360

Die Methode mit den Matroschkas 362

Bogenlängen analysieren 365

Drehoberflächen entstehen durch Drehen! 367

Uneigentliche Integrale am Verlauf zu erkennen 370

Vertikale Asymptoten 371

Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 373

Und jetzt zu Gabriels Horn 375

Kapitel 17 Unendliche Reihen379

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 380

Folgen aneinanderreihen 380

Reihen summieren 382

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 385

Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf denn-ten Term 385

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 387

Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 390

Tests auf Quotienten und Wurzeln 396

Alternierende Reihen 399

Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 399

Der Test mit den alternierenden Reihen 400

Nehmen Sie die Tests leicht 405

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 407

Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten409

Die drei binomischen Formeln 409

0/5 = 0, aber 5/0 ist undefiniert 409

0/0 ist nicht definiert 410

0 ist nicht definiert 410

Irgendetwas0 = 1 410

Die GAGA-HühnerHof-AG 410

Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 411

sin2+ cos2= 1 411

Die Produktregel 411

Die Quotientenregel 411

Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 413

(a+b)2 =a2 +b2 falsch! 413

a2 +b2 =a+b falsch! 413

Steigung einer Geraden =x2 x1/y2 y1 falsch! 413

3a+b/3a+c=b/c falsch! 414

ea+b= ea+ ebund ln(a+b) = ln(a) + ln(b) falsch! 414

d/da x3 = 3x2 falsch! 414

Wennkeine Konstante ist, dann ist d/dx kx=kx+kx na ja 414

Die Quotientenregel ist d/dx(u/v) =vuvu/v2 falsch! 415

x2dx= 1/3x3 falsch! 415

(sinx)dx= cosx+C falsch! 415

Stichwortverzeichnis 419